连杆，指的是定长线段与定长线段顶点重合所构成的结构。https://www.zhihu.com/video/1057742220093915136
上面的是一个简单的连杆，AB定点，其他线段都各自相等，然而却可以画出复杂的轨迹。
一.瓦特连杆，近直线运动https://www.zhihu.com/video/1057411998710571008三条定长线段，中间那条取中点。
瓦特连杆是用来作进直线运动的，一般见于车底。
二.jansen连杆，机器人行走https://www.zhihu.com/video/1057584914228236288两个顶点，用平行四边形框定轨迹范围
用于模拟动物行走，可以制造巨大的运动机械，比如电动蜘蛛。
三.切连雪夫连杆，机器人行走https://www.zhihu.com/video/1057585544468561920
可以模拟平滑的行走轨迹，效率高https://www.zhihu.com/video/1057585874056843264
上面是他的变形，橙色轨迹依然是一个连杆轨迹。
四.波塞利连杆，首个化曲为直的连杆https://www.zhihu.com/video/1057586558366027776
这种连杆，由AD=AE，AB=BC，DPEC为棱形的连杆构成。能够做到把圆周运动变成直线运动，意义高于瓦特连杆。
事实上，运用初中数学就能证明它的轨迹是直线。上图，作AC•AP=AF•AI=m先证明I是定点设AP、DE交于H，则m=AC•AP=（AH+HP）（AH－HC）=AH²-HP²根据定差幂线定理，AH²-HP²=AD²-DP²是个常数也就是m常数，AI是定的这样立马得到CFIP共圆，∠AIP=90°这就推出了P在垂直于AB的直线段上。QED
第一种https://www.zhihu.com/video/1057591341596430336
https://www.zhihu.com/video/1057591378351013888
通过固定的三角形，最终汇聚成针形的结构，可以得到复杂的轨迹。调整定点位置，同样也可以模仿行走动作。
第二种https://www.zhihu.com/video/1057592077583536128
四个定点，J负责把红色轨迹扩大，增加效率；使用平行构造，能够绘制平行轨迹并对原轨迹进一步放大。
连杆的设计不是很难，但要绘制固定图案非常困难，这的确是一个有趣的过程。
回到一开始我给出的简单连杆https://www.zhihu.com/video/1057741668165488641
上面的连杆的确简单，但画出的轨迹很难用代数式描绘（可以但真的很难..）
这让我们想到了，可以用连杆机构的轨迹作图啊！
这的确是可行的，说不定可以签出你的大名。
然而这个构造起来太麻烦了
最简单的应用，就是用它来做壁纸：
真的好看。
上面提到了连杆可以画很多复杂轨迹，但究竟有都复杂呢？
数学家们已经构造出了能画出椭圆、双曲线、抛物线，甚至双扭线和半立方抛物线。
事实上，任何的代数曲线都是能够被画出来的。
接下来我们试试看怎么证明吧：（建议跳过）
首先，以 O 为端点构造两个菱形。X，Y'在x轴上。
利用 Peaucellier 连杆（可以得到直线的，之前介绍了），我们可以让 y 点和 y' 点始终沿着两条垂直的直线运动。
固定 O 点后，我们就建立起了一个平面直角坐标系。接下来，我们需要把 Y 点绕着原点顺时针旋转 90 度。
假设菱形 OCYD 的边长为 l ，则构造连杆 OC’ = C’Y’ = Y’D’ = D’O = l ， CC’ = DD’ = √2 l ，这样我们就把 OY的长度转移到了 x 轴上。
接下来，我们将用一系列连杆构造出一个点 T ，使得 T 始终在坐标系中的 (f(x, y), 0) 的位置上。
然后我们将构造出一个点 S ，使得 S 始终在坐标系中的 (x, y) 位置上。
最后，我们把 T 点的位置固定在 (0, 0) ，则 S 点就将描绘出 f(x, y) = 0 的图象来。为了得到 T(f(x, y), 0) ，我们只需要实现对 x 轴上的点的以下四种操作：
把某个点的坐标加上一个常数 c把某个点的坐标乘上一个常数 c把两个点的坐标相加把两个点的坐标相乘
前两个操作并不困难。对于 x 轴上的某个点（l，0） ，为了得到点 l=p+c，只需要固定两个距离为 c 的点 A 、 B ，并构造一系列平行四边形即可。
O定点，OB=cOA，于是就有OE=cOC，这样C的坐标乘上了c。
如上图，这样可以进行向量的加法：u+w=v；对这些平行四边形进行变换，就可以得到两个点的变量坐标之和了。
但是，对 x 轴上的两个变量进行相乘就有些麻烦了。注意到，对于pq有 p·q = ((p+q)² – (p-q)²) / 4 ，因此只要我们能实现平方操作，也就有了实现乘法的方法。
而由于对于p，有 1/(p-1) – 1/(p+1) = 2/(p²– 1) ，因此只要我们能实现倒数操作，也就有了实现平方的方法。根据圆幂定理和波塞利连杆，在上图中的连杆中有 OC•OD=AO²－AD²，利用它我们便能实现 OC = (AO²– AD²)/OD 。取AO、AD为适当的值，我们就能得到的OC倒数了。
由于 x 和 y’ 都已经在 x 轴上了，利用上面的这些基本操作，我们便能得到 T(f(x, y), 0) 。
另外，利用向量加法器，我们可以得到 Ox 和 Oy 的向量和 S = (x, y) 。将 T 点的位置固定在原点 O 处， S 的轨迹就是 f(x, y) = 0 的图象了。
QED.
结论最令人惊讶的地方莫过于，由于各种曲线都能用代数曲线近似地描述，因此连杆系统几乎可以视为万能的了。
文章的最后，贴一篇大佬论文。
（点击查看高清原图）
matrix67的博客论文网址：https://file02.ixueshu.com/1000001468587911/fulltext?sign=7b6e0506a2a308903614f726ee2bdca0&user=xs_1544884332655&water=1&t=1544884332655&title=基于傅里叶级数理论的连杆机构轨迹综合方法
